HEATT

Acerca del “scope” del programa

El programa desarrollado tiene como punto de partida el conocido como problema de Graetz. Tal problema describe el comportamiento de un fluido newtoniano circulando por placas paralelas o en un conducto circular, en ambos casos se trata de un flujo con simetría axial, a partir de un punto determinado del eje, donde se fija como x=0 se produce un cambio brusco de temperatura en su superficie. Se considera que el flujo está plenamente desarrollado, por tanto, el perfil de velocidades es conocido y la condición de contorno, bien de temperatura o de flujo de calor también es conocido, la condición de conducción axial en el fluido es tenida en cuenta, lo que hace que el Número de Péclet (Pe) tenga un papel relevante.

Casos y limitaciones

Presentadas las ecuaciones que rigen el problema y las condiciones de contorno, queda por establecer el alcance del programa. El programa ofrece el campo de temperaturas tanto en el fluido como en el conducto, bajo las condiciones descritas anteriormente. No se trata de un programa de diseño y cálculo de conductos, ni se tienen en cuenta las condiciones superficiales de los conductos, coeficiente de fricción, pérdidas de carga primarias o secundarias.

El programa considera un perfil de velocidad parabólico para el fluido invariable a lo largo de toda la longitud del tubo, así como coeficientes térmicos constantes. En posteriores desarrollos del programa se superarán estas limitaciones.

Modelo físico-matemático

Problema conjugado-extendido de Graetz

Este problema ha sido analizado por numerosos investigadores, L. Graetz (1883) y Nusselt (1910) fueron los primeros en acercarse a las soluciones de este problema, posteriormente, otros autores, a lo largo de los últimos años han propuesto soluciones analíticas y numéricas en función de la geometría y de las condiciones de contorno que se apliquen. Un análisis detallado sobre este problema y sus variantes puede ser encontrado en las referencia [1], en la referencia [2] se analiza el problema de Graetz en su versión clásica siguiendo el trabajo de Bilir [1], pero aplicando para su resolución la técnica numérica del método de simulación por redes, método numérico basado en diferencias finitas que consiste en establecer una relación entre componentes eléctricos y los términos de discretos de las ecuaciones fisicomatemáticas que modelizan el problema, tal como se detallará más adelante.

En la formulación clásica de este problema es fundamental la condición de simetría axial, lo que permite tratar el flujo de una manera simplificada, usando modelos 1D, con lo que el problema queda reducido a la solución de una sola ecuación diferencial no lineal. El valor del número de Péclet que acompaña al término de la conducción en el fluido según el eje tiene importancia en la modelización del problema, para bajos números de Péclet el término de conducción axial tiene relevancia, conforme el valor de este parámetro crece, el termino de conducción al que acompaña deja de tener un papel relevante, pudiéndose despreciar este término y consiguiendo un modelo más sencillo.

Hipótesis

En lo que sigue el estudio se ciñe al problema en conductos circulares y se describen las hipótesis y ecuaciones que rigen el problema descrito, son las siguientes:

• Estado estacionario para el campo de velocidades y campo de temperaturas y flujo laminar completamente desarrollado.
• Propiedades físicas del fluido constantes, lo que implica fluido incompresible.
• Campo de velocidades y temperaturas en 3D.
• Campo de temperaturas varía con el ángulo.
• No hay disipación viscosa.
• Se tiene en cuenta la transferencia de calor en la pared del tubo.
• Se añade, además, una condición de contorno que rompe la simetría axial, la parte inferior del tubo se encuentra aislada, es adiabática.
• No se consideran las fuerzas de flotación, no se tiene en cuenta la aproximación de Boussinesq.
• Se considera la transferencia de calor en el tubo por el que circula el fluido

Ecuaciones

Con las condiciones descritas anteriormente el sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:

Esta primera ecuación corresponde a la ecuación de conducción en 3D en el conducto, el primer término de la ecuación sigue la Ley de Fourier para la conducción en coordenadas cilíndricas y el segundo término se refiere a la acumulación de calor en el sólido, caso de tenerlo en cuenta,

En la segunda ecuación se corresponde con el balance de energía en un elemento diferencial del fluido, siendo el primer término la conducción de calor en el fluido y el segundo término engloba la acumulación de calor y el transporte de energía en sentido axial, este término está influenciado por el Número de Péclet;

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno son:

La primera condición de contorno se refiere al campo de temperaturas del fluido, se toma como hipótesis que todo el fluido está a una temperatura uniforme T₁, la segunda condición de contorno hace referencia a la transferencia de calor radial en el infinito, la cual es nula, la siguiente condición hace referencia a la continuidad de la transferencia de calor en la interfase sólido-fluido, en la siguiente condición queda representada la temperatura T₂ y el punto en el que se produce este cambio de temperaturas de T₁ a T₂, que afecta a la parte superior del tubo, la última condición se refiere a la condición adiabática en la mitad inferior del tubo.

Método numérico

El programa utiliza para su resolución el Método de Simulación por Redes (MESIR).

Una vez planteado el sistema de ecuaciones que rige el problema y las correspondientes condiciones de contorno se aplica el método de simulación por redes para resolver el problema. El método de simulación por redes consiste en establecer una correspondencia entre elementos eléctricos y los términos resultantes de discretizar las ecuaciones que gobiernan un problema mediante el método de las diferencias finitas. De lo dicho anteriormente se pueden deducir las siguientes ecuaciones discretizadas mediante diferencia finitas a partir de las ecuaciones de definición del proceso físico de estudio.

Una vez discretizadas las ecuaciones que rigen el problema se establece la correspondencia entre los elementos de las ecuaciones y componentes eléctricos siguiendo la conocida analogía entre calor y componentes eléctricos. Siguiendo esta analogía, la temperatura se puede relacionar con la diferencia de potencial y el calor con los flujos de corriente, de esta manera, cada uno de los términos de las ecuaciones anteriores se puede relacionar con un flujo de corriente y aplicando la ley de Kirchoff de las corrientes se puede poner:

El esquema eléctrico resultante puede apreciarse en la siguiente figura:

Acerca del MESIR

El método de simulación por redes, MESIR, es un método numérico ampliamente utilizado en la resolución de problemas de diferentes campos de la física e ingeniería. El método de simulación por redes MESIR se basa en la confeccionar modelos en red formados por componentes eléctricos cuyas ecuaciones sean formalmente equivalentes a las obtenidas tras la discretización espacial de los modelos matemáticos mediante diferencias finitas. El tiempo es una variable continua en este modelo. El volumen sobre el que se aplican las ecuaciones de la transferencia de calor se corresponde con un el descrito en la Figura del esquema eléctrico. Se ha dividido la aleta compuesta en tres regiones diferentes. En cada una de estas regiones se ha aplicado la ecuación de conducción del calor bajo modelos 2-D y sus correspondientes condiciones de contorno, en la misma figura también se representa la celda o volumen elemental de dimensiones, ºz y ºy, que resulta de este proceso.

Referencias

1. Bilir, S., 1992. Numerical-solution of Graetz Problem with axial conduction. Numerical Heat Transfer Part a-Applications 21, 493–500.
2. Zueco, J., Alhama, F., Fernandez, C., 2004. Analysis of laminar forced convection with Network Simulation in thermal entrance region of ducts. Int. J. Therm. Sci. 43,443–451.
3. Seco-Nicolás, Manuel; Alarcón García, Mariano; Alhama, Francisco. 2018. Thermal behavior of fluid within pipes based on discriminated dimensional analysis. An improved approach to universal curves. Applied Thermal Engineering. DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2017.11.091
4. Seco-Nicolás, Manuel; Alarcón García, Mariano; Luna-Abad, Juan Pedro., 2020. Experimental Calculation of the mean temperature of flat plate thermal solar collectors. Results in Engineering 5. DOI: 10.1016/j.rineng.2020.100095.
5. Seco-Nicolás, Manuel; Alarcón García, Mariano; Luna-Abad, Juan Pedro., 2021. 3D numerical simulation of laminar forced-convection flow subjected to asymmetric thermal conditions. An application to solar thermal collectors. Solar Energy. DOI: 10.1016/j.solener.2021.02.022
6. Mariano Alarcón, Fernando Manuel Martínez-García, Félix Cesáreo Gómez de León Hijes, Energy and maintenance management systems in the context of industry 4.0. Implementation in a real case, Renewable and Sustainable Energy Reviews, Volume 142, 2021, 110841. DOI: 10.1016/j.rser.2021.110841.
7. Alarcón García, Mariano;Seco-Nicolás, Manuel; Luna-Abad, Juan Pedro; Ramalo-Gonzalez, Alfonso P. 2022. Forced laminar flow in pipes subjected to asymmetric external conditions: The HEATT© Platform for online simulations. Intechopen. DOI: 10.5772/intechopen.107215